The Ultimate Fractals Viewer

Il s'agit d'une applet permettant de visionner les ensembles de Mandelbrot, Julia et Newton.

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Introduction sur les fractales

Nous sommes tous habitués aux objets de la géométrie euclidienne : aux droites, aux cercles, aux rectangles, aux cubes... Ils nous permettent de décrire simplement ce que l'on trouve dans la nature. Ainsi, les troncs d'arbres sont approximativement des cylindres et les oranges des sphères. Mais comment fait-on pour décrire un chou-fleur, un flocon de neige ou même un arbre entier ? En effet, les choses se compliquent, la géométrie euclidienne a atteint sa limite.

Les scientifiques ne se sont pas découragés, et le mathématicien Mandelbrot, généralisant les travaux des Français Gaston Julia et Pierre Fatou sur les itérations des fonctions complexes, a montré l'intérêt de la géométrie fractale pour caractériser les objets "ayant la propriété de pouvoir être décomposés en parties de telle façon que chaque partie soit une image réduite du tout". Avant de poursuivre, voici quelques exemples d'objets fractals :

Sierpenski Mandelbrot
le tapis de Sierpenski
l'ensemble Mandelbrot

Vous l'avez bien compris, la géométrie fractale permet de caractériser des objets ayant une forme très irrégulière, et qui ont la propiété d'invariance par changement d'échelle. C'est à dire que si vous regardez un objet fractal au microscope ou à l'oeil nu, vous allez voir la même chose. Cette particularité d'auto-similarité est très étonnante, et les fractales ont bien d'autres propriétés, plus fascinantes les unes que les autre.

Le terme "fractale" vient du latin, "fractus" qui désigne un objet fracturé, de forme très irrégulière. C'est Benoit Mandelbrot qui a introduit ce terme pour désigner ces fameux objets mathématiques.

Les ensembles de Julia et Mandelbrot

1. Introduction

Julia & Mandelbrot

Que sont ces ensembles de Julia et de Mandelbrot? Au premier abord, ce sont de belles images. Ce sont aussi des curiosités des maths, ayant des applications aussi diverses et variées que la méteorologie et la Biologie. Si vous prononcez ces mots à un mathématicien, il vous répondra que ce sont des suites complexes. Gaston Julia fut le premier à étudier ces suites complexes et en étudier le comportement. Né en Algérie en 1893, il fut envoyé au front francais durant la première Guerre Mondiale, où il fut blessé et perdit son nez. Il passa par la suite de nombreuses années à l'hopital, et eut donc, entre deux opérations, tout le loisir de poursuivre ses recherches mathématiques. A l'âge de 25 ans, il publie un ouvrage, "Mémoire sur l'itération des fonctions", qui fut honoré du Grand Prix de l'Académie des sciences. Benoît Mandelbrot reprend par la suite, dans les années 1980, les travaux de Gaston Julia pour expliquer des phénomènes naturels qu'il observait dans son laboratoire chez IBM. Certains phénomènes électromagnétiques étaient à l'époque inexpliquable à l'aide des outils mathématiques de la géométrie classique d'Euclide. Ainsi Mandelbrot fut le premier qui eut l'idée d'appliquer ces considérations mathématiques à des phénomènes naturels, et très vite la modélisation de ces derniers à l'aide de fractales se dévellopa, essentiellement grâce à la généralisation de l'outil informatique.

2- Généralités sur les nombres complexes

Afin de comprendre les ensembles de Julia et de Mandelbrot, il est tout d'abord nécessaire d'exposer quelques notions sur les nombres complexes. Depuis le collège, on explique qu’un carré est toujours positif (pour tout x non nul, x2>0), mais il est parfois nécessaire de savoir résoudre x2 = -1 dans R. Beaucoup se sont confrontés au problème, et dès le XVI eme siècle des algébristes italiens (Cardan, Tartaglia, Ferrari, Bombelli) se risquent à introduire des nombres « impossibles » ou « imaginaires », par exemple, des nombres dont le carré est négatif. Ils inventent ainsi une structure qui deviendra une des plus utile dans l’histoire des mathématiques : les nombres complexes.

Un nombre complexe C est composé de deux parties, l'une réelle et l'autre complexe. Il est par ailleurs nécessaire pour représenter un point dans un plan bi-dimensionel de fournir deux valeurs : l'abscisse et l'ordonnée d'un point. On va donc utiliser pour représenter un nombre complexe la partie réelle comme abscisse et la partie complexe comme ordonnée. On obtient donc pour le complexe C = 5 + 3i le point C(5;3).

3- Représentation graphique de l'ensemble de Julia

On possède un plan bi-dimensionel d'abscisse x et d'ordonnée y. Pour représenter l'ensemble de Mandelbrot, on va associer à chaque point (x,y) du plan la formule

Z(n) = Z(n-1)2 + C avec Z(0) = 0

Zn est une suite complexe récursive, on va donc pour chaque point (x,y) itérer cette fonction n fois afin de trouver le nième terme de la suite, qui sera le nombre complexe (x',y'). Mais pour représenter graphiquement ceci, il faut employer de la couleur. Pour déterminer quelle couleur aura un point donné, on va utiliser le module d'un nombre complexe, ce qui équivaut à calculer la distance entre Z(n) et 0. Ainsi si la suite Z(n) s'éloigne très rapidement de 0, on attribuera la couleur blanc au point (x,y) étudié. Si par contre Z(n) reste constante, on attribuera la couleur noire à ce point. Si le point s'éloigne très lentement, on attribuera alors comme couleur une nuance de gris en fonction de la vitesse d'éloignement.

Pour calculer Mandelbrot, C va donc être variable en fonction du point (x,y), et sera égale à x + yi. Pour calculer l'ensemble de Julia, on utilise la même formule, mais en prenant Z(0) comme élément variable. on aura donc Z(n+1) = (x + yi)2 + C. La valeur de C est arbitraire, il existe donc une infinité d'ensembles de Julia

Considérations générales sur les ensembles de Julia et de Mandelbrot

Etudions pour commencer le comportement de la suite Z(n) = Z(n-1)2 + C où C est un nombre réel. On obtien une parabole analogue à celle de la fonction f(x) = x2. Si C = 0 et Z(0) < 1, on remarque que la suite Z(n) tend vers 0. Si Z(0) = 1, alors Z(n) est constante et égale à 1, et si Z(0) > 1, alors la suite Z(n) tendra vers l'infini. On peut donc dire que Z(0) = 1 est une frontière entre deux bassins d'attraction, avec 0 et l'infini comme attracteurs.Mais que se passe-t-il lorsque l'on utilise non plus des réels mais des nombre C et Z(0) complexes? Mandelbrot découvrit que lorsque la constante C n'est pas nulle, non seulement il peut exister plusieurs points attracteurs, mais, de plus, les frontières séparant les bassins d'attraction deviennent extrêmement compliqués et étranges. Mandelbrot appela ces courbes frontières les ensembles de Julia. Cette multitude de bassins explique la diversité des formes que l'on observe.

Ces ensembles fractales à base de nombres complexes sont donc en réalité la frontière entre une infinité de bassins d'attractions, d'où l'infinie complexité au sens usuel du terme de ces fractales, révélant des détails sans limite lorsque l'on agrandit certaines portions d'image. Certaines parties de l'image sont des reproductions de l'ensemble de l'image à plus petite échelle, et à l'intérieur de ces portions d'autres reproductions de l'image existent aussi, et ainsi de suite.

On remarque également que l'ensemble de Mandelbrot est en réalité un assemblage d'ensembles de Julia, puisqu'il existe une infinité d'ensemble de Julia en fonction de C, et que Mandelbrot est calculée à partir de toutes les valeurs de C possibles. En outre, le périmètre de ces deux fractales est infini, tel est le cas d'ailleurs pour toutes le fractales en général. En ce qui concerne l'aire de ces fractales, elle est tout simplement inconnue. Finalement, on peut aussi noter que tous le points ayant la même couleur sont conectés ensemble.